Question

如圖，已知⊙O的圓心在坐標原點，半徑為2，過圓上一點T（，）的切線交x軸于A點，交y軸于B點．
（1）求OA、OB的長；
（2）在切線AB上取一點C，以C為圓心，半徑為r的⊙C與⊙O外切于P點，兩圓的內公切線PM交OT的延長線于M，過M點作⊙C的切線MN，切點為N．求證：MN=TC且MN∥TC；
（3）若（2）中的⊙C的圓心在AB上移動且始終與⊙O外切（即r在變化），N點坐標為（x，y），問N點的坐標x，y能否寫成與r無關的關系式？若能，請寫出關系式；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）解：過T作TG⊥x軸于G；
∵T點坐標（），
∴OG=GT=，
∴∠TOG=45°，
∴∠OAB=45°，
即△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB=．

（2）證明：∵PM是兩圓的內公切線，
∴MP⊥OC，
∴Rt△MOP≌Rt△COT，
∴MP=CT；
又MN、MP是⊙C的切線長，
∴MP=MN，
∴MN=TC ①，
又由上，得OC=MO，
∴r+2=MT+2，MT=r；
∵CN=r，
∴MT=NC，
∵∠MNC=∠MTC=90°，
∴MN∥TC②，
∴MN=TC．

（3）解：能寫成與r無關的式子，設直線MN交x軸于D，過N作NH⊥x軸于H；
由（1）、（2）可知，△OMD、△NHD都是等腰直角三角形，
∴OD=OH+HD=OH+HN=x+y，即OD=x+y；
又OD=（2+r），
∴x+y=①，
MN=MD-ND=OM-ND=（2+r）-y，
即MN=（2+r）-y；
在Rt△OTC中，
由OT²+TC²=OC²，又TC=MN，
∴2²+[（2+r）-y]²=（2+r）²②；
由①，得2+r=，代入②得：4+[-]²=（）²，
解得xy=2，y=．
分析：（1）根據點T的坐標知：∠TOA=45°，由于BA切⊙O于T，則OT⊥BA，故∠OAB=∠OBA=45°，過T作TG⊥x軸于G，則TG=OG=GA=，由此可求得OA、OB的長．
（2）由于PM是兩圓的公切線，則MP⊥OC，而OP、OT都是⊙O的半徑，易證得Rt△MOP≌Rt△COT，得MP=TC，由切線長定理知MP=MN，即可得到TC=MN；由上述全等三角形還可得OM=OC都等于兩圓的半徑和，則MT=CN，易知∠MTC=∠MNC=90°，即可證得MN∥TC（可連接MC，通過證三角形全等得MN、TC的內錯角相等）．
（3）設MN與x軸的交點為D，過N作NH⊥x軸于H，由（2）MN∥TC知∠TMN=90°，則△MOD、△HND都是等腰直角三角形，那么OD=OH+HN=x+y，而OD=OM，OM等于兩圓的半徑和，聯立上述兩式可得x、y、r的第一個關系式；易求得MN的長，即TC的長，可在Rt△OTC中，根據勾股定理得到另外一個x、y、r的關系式，聯立兩式即可得到x、y的關系式．
點評：此題考查了相切兩圓的性質、切線的性質、切線長定理、全等三角形的判定和性質、勾股定理的應用等，綜合性強，難度較大．