Question

【題目】如圖，一次函數y=－x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=－+bx+c過A、B兩點．

(1)求這個拋物線的解析式；

(2)作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

Answer 1

【答案】(1)、y=-+3.5x+2；(2)、t=2時，最大值為4；(3)、（0，6），（0，-2）或（4，4）

【解析】

試題分析：(1)、根據題意得出點A和點B的坐標，然后將兩點代入函數解析式得出b和c的值，得出函數解析式；(2)、設出點M和點N的坐標，從而得出MN的長度，根據二次函數的性質得出最大值；(3)、根據題意得出點A、點M和點N的坐標，然后根據平行四邊形的性質得出三種情況，從而求出點D的坐標.

試題解析：(1)、求A、B點的坐標為：A（0，2），B（4，0） 將x=0，y=2代入y=-+bx+c得c=2

將x=4，y=0代入y=-+bx+c得0=-16+4b+2，解得b=3.5

∴拋物線解析式為：y=-+3.5x+2

(2)、由題意，易得M(t,-t+2), N(t, -+3.5t+2)，從而MN=-+3.5t+2-(-t+2)=-+4t=－

∴當t=2時，MN有最大值4

(3) 、由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．

以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，D點的可能位置有三種情形，如答圖2所示．

當D在y軸上時，設D的坐標為（0，a） 由AD=MN，得|a-2|=4，解得=6，=-2，

從而D為（0，6）或D（0，-2）

當D不在y軸上時，由圖可知D3為D1N與D2M的交點，求出直線D1N與D2M的解析式

由兩解析式聯立解得D為（4，4） 故所求的D點坐標為（0，6），（0，-2）或（4，4）