Question

2010年春季，中國西南五省市遭遇世紀大旱，不少地方的村民飲用水告急，不得不半夜摸黑前往水源處排隊取水．如圖，一條東西走向的公路連接著相距30千米的A、B兩村莊，山洞C處有一出水口，位于A村莊北偏東58°方向，且位于B村莊北偏西24°方向．已知B、C之間也有公路連接，而A、C之間只有一條比較難走的山路．
（1）求山路AC的長（精確到1千米）；
（2）家住A村莊的村民老李準備用馬車到出水口C處取水，已知由A→B→C走公路平均每小時能走25千米，由A→C走山路平均每小時只能走18千米．如果僅從時間角度考慮，請你通過計算，幫老李確定走哪條路比較好？

Answer 1

分析：（1）作出AB邊上的高線CH，設AC=x，則在直角△ACH中，根據三角函數即可表示出AH，CH．同理在直角△CBH中，可以用CH表述出BH，根據AH+BH=AB，即可列出方程，即可求得AC的值．
（2）求出通過兩條路線所用的時間，即可進行比較．

解答：解：（1）過C作CH⊥AB交AB與H點．
設AC=x，則AH=x•sin58°
CH=x•cos58°，
∴x•sin58°+x•cos58°•tan24°=30
∴x=

30

sin58°+cos58°•tan24°

≈28．
∴AC的長約是28米．

（2）BC=

CH

cos24°

=

x•cos58°

cos24°

≈16米．
t₁=

30+16

25

≈1.8小時，
t₂=

28

18

≈1.6小時．
∵t₁＞t₂，
因而走A到C路線較好．

點評：一般三角形的問題可以通過作高線轉化為直角三角形的問題來解決．