Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO 的面積為15 ，邊OA 比OC 大  2 ．E 為BC 的中點(diǎn)，以O(shè)E 為直徑的圓O′交x 軸于點(diǎn)D ，過點(diǎn)D 作DF⊥AE 于點(diǎn)F ． 
 (1) 求OA，OC的長．
 (2) 求證：DF為圓O' 的切線； 
 (3) 小明在解答本題時(shí)，發(fā)現(xiàn)△AOE 是等腰三角形，由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點(diǎn)E 以外的點(diǎn)P ，使△AOP 也是等腰三角形，且點(diǎn)P 一定在圓O' 外”。你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

Answer 1

解：(1)在矩形OABC中，設(shè)OC=x，則OA=x+2，依題意得x(x+2)=15，
解得：（不合題意，舍去），
所以O(shè)C=3,OA=5
(2)連接O'D，
如圖：在矩形OABC中，OC= AB，∠OCB=∠ABC=90°，CE=BE=．
所以△OCE≌△ABE
所以EO=EA
所以∠1=∠2，
在圓O'中，因?yàn)镺'O=O'D，
所以∠1=∠3，
所以∠3= ∠2
因?yàn)镺'D ∥AE ，
又因?yàn)镈F ⊥AE ，
所以DF ⊥O'D.
又因?yàn)辄c(diǎn)D 在圓O' 上，O'D 為圓O' 的半徑，
所以DF 為圓O' 的切線
(3)不同意．理由如下：
①當(dāng)AO=AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC 于P₁和P₄兩點(diǎn)和兩點(diǎn)．
過點(diǎn)P₁作
因?yàn)?IMG style="WIDTH: 90px; HEIGHT: 24px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/c02/20120825/20120825144947963611.png">，
所以AH=4，
所以O(shè)H=1，
求得點(diǎn)；
②當(dāng)OA=OP時(shí)，同上可求得：
因此，在直線BC上，除了點(diǎn)E外，既存在圓O'內(nèi)的點(diǎn)P₁又存在圓O'外的點(diǎn)它們分別使△AOP為等腰三角形．