Question

【題目】如圖1，拋物線y＝-x2+x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C．將直線AC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)90°，交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于另一點(diǎn)E．

(1)求直線AE的解析式；

(2)點(diǎn)F是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△FAD的面積最大時，求出此時點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(3)如圖2，將△ACD沿射線AE方向以每秒個單位的速度平移，記平移后的△ACD為△A′C′D′，平移時間為t秒，當(dāng)△AC′E為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的值為或或或．

【解析】

（1）由拋物線解析式，分別求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，由△AOC∽△DOA得，從而求出DO，進(jìn)而可知直線AE的解析式；

（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，分別根據(jù)拋物線和直線AE的解析式，設(shè)出點(diǎn)F和點(diǎn)K的坐標(biāo)，由S△FAD=S△FAK-S△FDK，用x表示△FAD的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

（3）連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，分三種情況討論當(dāng)△AC′E為等腰三角形時，t的值：①；②；③．

（1）由題意知，拋物線y＝-x2+x+與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，

令=0，得，所以C(0,),

令=0，得，所以A(-1,0)，B(3,0)，

根據(jù)題意，AE⊥AC

∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=90°，

又∵∠AOC=∠DOA=90°

∴∠OAD+∠ADO=90°

∴∠ADO=∠CAO

∴△AOC∽△DOA

∴

∴

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：

∴直線AE的解析式為：；

（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)，

，

，

，

，

，

，

當(dāng)時，有最大值，

此時點(diǎn)；

（3）連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則

點(diǎn)，易求

①當(dāng)時，，解得：；

②當(dāng)時，同理可得：(舍去負(fù)值)；

③當(dāng)時，同理可得：；

故：的值為或或或．