Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A（-3，0）、B兩點，與y軸相交于點C（0，）．當x=-4和x=2時，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的函數值y相等，連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M、N時從B點出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為t秒時，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標；
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在請說明理由；若存在，請求出F點坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據當x=-4和x=2時，二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的函數值y相等，可以求得函數的對稱軸，根據A、B對稱，即可求得B的坐標，然后利用待定系數法即可求得函數的解析式；
（2）根據M、N點的運動速度相同，可以得到BM=BN，進而根據翻折的性質證明，四邊形BMPN是菱形，則△CPN相似于△CAB，根據相似三角形的性質，求得OD，PD的長度，則可以求得P的坐標；
（3）點F在對稱軸上，則F的橫坐標一定是-1，△ACF是等腰三角形，分AF=AC，CF=CA，EA=EC三種情況進行討論，前兩種情況利用t表示出AE，CE的長度，即可得到關于t的方程從而求解；第三種情況求得直線HF的解析式，再根據F的橫坐標是-1，即可求解．
解答：解：（1）由題意可得，對稱軸為，
由對稱性可得B點坐標為（1，0）
則設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），
又過點 C（0，），代入可解得
則解析式為，
即

（2）∵M、N點的運動速度相同，∴BM=BN=t，
又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t
∴四邊形BMPN是菱形，∴PN平行MN（即x軸）
∴△CPN相似于△CAB．
∴易得AB=4，BC=2
∴解得∴NB=，∴CN=
∴，
代入可解得
∴
∴P

（3）在直角△AOC中，AC===2．
設F點坐標為（1，a）
①當AF=AC時，∵AC=，∴AE==2
解得：a=±2
∴F（-1，2）或（-1，-2）；
②當CF=CA時，∴CE==2
解得：a=±．
則F的坐標是（-1，+）或（-1，-）；
③當EA=EC時，E點為AC垂直平分線與對稱軸的交點，中點H的坐標是（-，）．
設直線AC的解析式是：y=kx+b，根據題意得：，解得：，
則AC的解析式是：y=x+．
∵F點為AC垂直平分線與對稱軸的交點，
∴直線HF的一次項系數是-．
設HF的解析式是y=-x+c，把H的坐標代入得：-×（-）+c=，解得：c=-，
則HF的解析式是：y=-x-．
令x=-1，解得y=0，
則F的坐標是（-1，0）．
總之，F的坐標是：（-1，2）或（-1，-2）或（-1，+）或（-1，-）或（-1，0）．
點評：本題是考查了二次函數與菱形的判定與性質，待定系數法求函數的解析式的綜合應用，正確證明四邊形BMPN是菱形是關鍵．