Question

已知△ABC的周長為1，連接△ABC的三邊中點構成第二個三角形，再連接第二個三角形的三邊中點構成第三個三角形，依此類推，第2010個三角形的周長是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：根據已知條件，首先可知各三角形都相似，然后根據題意可得規律：第n個三角形與原三角形的相似比為1：2^n-1，又由△ABC周長為1，即可求得第2010個三角形的周長．
解答：∵連接△ABC三邊中點構成第二個三角形，
∴新三角形的三邊與原三角形的三邊的比值為1：2，
∴它們相似，且相似比為1：2，
同理：第三個三角形與第二個三角形的相似比為1：2，
即第三個三角形與第一個三角形的相似比為：1：2²，
以此類推：第2010個三角形與原三角形的相似比為1：2²⁰⁰⁹，
∵△ABC周長為1，
∴第2010個三角形的周長為，
故選D．
點評：此題考查了相似三角形的性質與三角形中位線的性質．此題難度較大，解題的關鍵是找到規律：第n個三角形與原三角形的相似比為1：2^n-1．