Question

已知，如圖，D是△ABC中BC邊的中點，∠BAD=90°，tanB=

2

3

，AD=2，求：
（1）sin∠DAC；
（2）AC的長及△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）過C點作AB的垂線，交BA的延長線于E，求出AB，求出AE=AB=3，通過解直角三角形求出CE，根據平行線的性質得出∠DAC=∠ECA，根據解直角三角形求出即可；
（2）在Rt△ACE中，根據勾股定理求出AC，根據三角形面積公式求出△ABC的面積即可．

解答：解：（1）過C點作AB的垂線，交BA的延長線于E，
∵∠BAD=90°，tanB=

AD

AB

=

2

3

，AD=2，
∴AB=3，
∵CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠E=∠DAB，
∴AD∥CE，
∵D為BC中點，
∴AB=AE=3，
在△BEC中，tanB=

CE

BE

=

2

3

，
∵BE=3+3=6，
∴CE=4，
∴在Rt△AEC中，CE=4，AE=3，由勾股定理得：AC=

32+42

=5；
∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ECA，
∴sin∠DAC=sin∠ECA=

AE

AC

=

3

5

；

（2）S_△ABC=

1

2

×AB×CE
=

1

2

×3×4
=6．

點評：本題考查了解直角三角形，勾股定理，平行線的性質和判定等知識點，關鍵是正確作輔助線，注意考查學生的推理和計算能力．