Question

如圖，AB為⊙O的直徑，OE交弦AC于點P，交于點M，且=．
（1）求證：OP=BC；
（2）如果AE²=EP•EO，且AE=，BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需根據垂徑定理證明AP=CP，再根據三角形的中位線定理即可證明；
（2）根據所給的比例式發現相似三角形，從而得到∠OAE=90°．又根據已知的比例式可以求得OE的長，再根據勾股定理即可．
解答：（1）證明：∵，OM為圓的半徑，AC為圓的弦，
∴P為AC的中點，即AP=CP，
又∵OA=OB，
∴OP為△ABC的中位線，
∴OP=BC；

（2）解：∵AE²=EP•EO，
∴．
又∵∠E=∠E，
∴△AEO∽△PEA，
∴∠OAE=∠APE，
∵，
∴MO⊥AC，即∠APE=90°，
∴∠OAE=90°，
∴OP=BC，BC=6，
∴OP=3，
又∵AE²=EP•EO，且AE=6，EP=EO-OP=EO-3，
∴EO（EO-3）=（6）²，
解得：EO=15，EO=-12（舍去）．
在Rt△OAE中，EO=15，AE=6，
根據勾股定理得：OA=．
∴⊙O的半徑為3．
點評：熟練運用相似三角形的判定、勾股定理、垂徑定理、三角形的中位線定理．