Question

已知⊙O的弦AB長等于⊙O的半徑，求此弦AB所對的圓周角的度數．

Answer 1

【答案】分析：弦AB的長恰好等于⊙O的半徑，則△OAB是等邊三角形，則∠AOB=60°；而弦AB所對的弧有兩段，一段是優弧，一段是劣弧；因此本題要分類討論．
解答：解：情形一：如左圖所示，連接OA、OB，在⊙上任取一點，連接CA，CB，
∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
即弦AB所對的圓周角等于30°；
情形二：如圖所示，連接OA，OB，在劣弧上任取一點D，
連接AD、OD、BD，則∠BAD=∠BOD，∠ABD=∠AOD，
∴∠BAD+∠ABD=（∠BOD+∠AOD）=∠AOB，
∵AB的長等于⊙O的半徑，
∴△AOB為等邊三角形，∠AOB=60°，
∴∠BAD+∠ABD=30°，∠ADB=180°-（∠BAD+∠ABD）=150°，
即弦AB所對的圓周角為150°．
點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質、圓周角定理和圓內接四邊形的性質．要注意的是弦AB所對的圓周角有兩種情況，需分類討論，以免漏解．