Question

如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，且Rt△AOC∽Rt△COB，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：根據拋物線的解析式求得點C的坐標，然后由相似三角形的對應邊成比例即可求得a的值，即拋物線的解析式；然后由一元二次方程x²-x+3=0的根與系數的關系可以求得AB的長度；最后根據三角形的面積公式即可求得△ABC的面積．
解答：解：設拋物線與x軸的交點的坐標為A（x₁，0）、（x₂，0）．
∵當x=0時，y=3，
∴拋物線與y的交點C的坐標為（0，3）．
∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴OC²=OA•OB（相似三角形的對應邊成比例），
∴OC²=x₁•x₂，即3²=，
解得，a₁=，或a₂=-（不合題意，舍去），
故該拋物線的解析式為：y=x²-x+3．
令y=0，則x²-x+3=0，
解得x₁+x₂=4，x₁•x₂=9，
則AB=|x₂-x₁|==2，
故S_△ABC=AB•OC=×2×3=3．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、拋物線與x軸的交點．注意，該題中a的符號需根據拋物線的開口方向來確定．