Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的圓O經過點D，E是⊙O上一點，且∠AED=45°．
（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O半徑為6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OD，由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可證得OD⊥AB，又由四邊形ABCD是平行四邊形，即可證得OD⊥CD，即可證得CD與⊙O相切；
（2）首先過點O作OF⊥AE，連接OE，由垂徑定理可得AF=6cm，∠AOF=∠AOE，又由圓周角定理可得∠ADE=∠AOE，繼而證得∠AOF=∠ADE，然后在Rt△AOF中，求得sin∠AOF的值，即可求得答案．
解答：解：（1）CD與⊙O相切．
理由：連接OD，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，
即OD⊥AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥CD，
∵AB為直徑的圓O經過點D，
∴CD與⊙O相切；

（2）過點O作OF⊥AE，連接OE，
則AF=AE=×10=5（cm），
∵OA=OE，
∴∠AOF=∠AOE，
∵∠ADE=∠AOE，
∴∠ADE=∠AOF，
在Rt△AOF中，sin∠AOF==，
∴sin∠ADE=．
點評：此題考查了切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、平行四邊形的性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與轉化思想的應用．