Question

如圖，正方形ABCD中，E點在邊BC上，F點在邊CD上，AF⊥ED．
（1）線段AF和DE相等嗎？說明理由；
（2）求證：EF²=BE²+FD²．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可以證明△ADF≌△DCE，從而就可以得出AF=DE．
（2）由△ADF≌△DCE可以得出EC=DF，就可以得出BE=CF，再根據勾股定理就可以得出結論．
解答：解：（1）AF=DE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD，∠ADF=∠DCE=90°，
∴∠DAF+∠DFA=90°
∵AF⊥ED，
∴∠DFA+∠EDC=90°，
∴∠DAF=∠EDC，
在△ADF和△DCE中，
∵，
∴△ADF≌△DCE（ASA），
∴AF=DE．

（2）∵△ADF≌△DCE，
∴DF=CE，
∴DC-DF=BC-CE，
即BE=CF，
在Rt△ECF中，由勾股定理，得
EF²=EC²+CF²，
∴EF²=BE²+FD²．
點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用及勾股定理的運用，解答本題時求出△ADF≌△DCE是關鍵．