Question

等邊△ABO在直角坐標系中的位置如圖所示，BO邊在x軸上，點B的坐標為（-2，0）點，反比例函數y=（x＜0）經過點A．
（1）求這個反比例函數的解析式；

（2）如圖，直線y=kx+2與x軸，y軸交于C，D兩點，與（1）中的反比例函數的圖象交于E，F兩點，EG⊥x軸于G點，FH⊥y軸于H點，若△DFH的面積記為S_△DFH，已知S_△DFH+S_△FOE+S_△ECG=S_△COD，求k的值；


（3）如圖，點D為（1）中的等邊△ABO外任意一點，且∠ADO=30°，連接AD，OD，BD，則AD²，OD²，BD²之間存在一個數量關系，寫出你的結論并加以證明．

Answer 1

解：（1）則AB=BO=AO=2，過A作AM⊥BO于點M，
則OM=BO=1，AM==
則點A的坐標為（-1，）
則這個反比例函數的解析式為y=；

（2）∵S_△DFH+S_△FOE+S_△ECG=S_△COD，
∴S_△EGO+S_△FOH=S_△COD
又∵S_△EGO=S_△FOH=，
則S_△COD=8，因為OD=2，
∴OC=8，則C（-8，0），
∵直線y=kx+2過C（-8，0），則k=；

（3）AD²，OD²，BD²之間存在的數量關系是BD²=OD²+AD²，
以OD為邊構造等邊三角形ODP，連接AP，則△ADP為直角三角形；
則AP²=DP²+AD²
∵OB=OA，
∠BOD=∠AOP=60°+∠AOD，
OD=OP，
∴△BOD≌△AOP（SAS），
∴BD=AP
∴BD²=DP²+AD²=OD²+AD²．
分析：（1）根據等邊三角形的性質和B點坐標求出A點坐標，然后用待定系數法求出解析式．
（2）根據面積關系和（1）的關系式可用帶有k的式子表示出，又因為OD=2，從而可確定出函數解析式．
（3）AD²，OD²，BD²之間存在的數量關系是BD²=OD²+AD²，以OD為邊構造等邊三角形ODP，連接AP，則△ADP為直角三角形；則AP²=DP²+AD²，可證△BOD≌△AOP（SAS），得BD=AP，從而可得BD²=DP²+AD²=OD²+AD²．
點評：本題考查的知識點比較多，屬于難度比較大的題目，做的時候注意題目所給的條件，也要數形結合來做題．