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如圖,拋物線y=(x+1)2+k與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C(0,-3).
(1)求拋物線的對稱軸及k的值;
(2)在拋物線的對稱軸上存在一點P,使得PA+PC的值最小,求此時點P的坐標;
(3)設點M是拋物線上的一動點,且在第三象限.當M點運動到何處時,△AMB的面積最大?求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標.
分析:(1)由拋物線的解析式即可得出其對稱軸方程,再把點C(0,-3)代入拋物線的解析式即可求出k的值;
(2)由兩點之間線段最短可知當P點在線段AC上就可使PA+PC的值最小,再由P點要在對稱軸上,可知P點應為線段AC與對稱軸直線x=-1的交點,由(1)中求出的C點坐標即可得出拋物線的表達式,故可求出A、B兩點的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式,把x=-1代入即可求出P點坐標;
(3)由于線段AB為定值,所以當B點在拋物線的頂點上△ABM的面積最大,由A、B、M三點的坐標即可得出AB及BD的長,再由三角形的面積公式即可得出結論.
解答:解:(1)∵拋物線的解析式為:y=(x+1)2+k,
∴其對稱軸為:直線x=-1.
∵拋物線y=(x+1)2+k過點C(0,-3),
∴-3=(0+1)2+k,解得k=-4;

(2)如圖,∵兩點之間線段最短,
∴當P點在線段AC上就可使PA+PC的值最小.
又∵P點要在對稱軸上,
∴P點應為線段AC與對稱軸直線x=-1的交點,
由(1)可知,拋物線的表達式為:y=(x+1)2-4=x2+2x-3.
令y=0,則x2+2x-3=0.
解得:x1=-3,x2=1.
∴點A、B的坐標分別是A(-3,0)、B(1,0),
設直線AC的表達式為y=kx+b,則
-3k+b=0
b=-3.

解得 
k=-1
b=-3.

∴直線AC的表達式為y=-x-3,
當x=-1時,y=-(-1)-3=-2.
∴此時點P的坐標為(-1,-2);

(3)依題意得:當點M運動到拋物線的頂點時,△AMB的面積最大.
∵拋物線表達式為y=(x+1)2-4,
∴拋物線的頂點坐標為(-1,-4),即MD=4,
∴點M的坐標為(-1,-4),
∴△AMB的最大面積S△AMB=
1
2
AB•MD=
1
2
×(3+1)×4=8.
點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式,三角形的面積公式等相關知識,難度適中.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

26、已知:如圖,拋物線C1,C2關于x軸對稱;拋物線C1,C3關于y軸對稱.拋物線C1,C2,C3與x軸相交于A、B、C、D四點;與y相交于E、F兩點;H、G、M分別為拋物線C1,C2,C3的頂點.HN垂直于x軸,垂足為N,且|OE|>|HN|,|AB|≠|(zhì)HG|
(1)A、B、C、D、E、F、G、H、M9個點中,四個點可以連接成一個四邊形,請你用字母寫出下列特殊四邊形:菱形
AHBG
;等腰梯形
HGEF
;平行四邊形
EGFM
;梯形
DMHC
;(每種特殊四邊形只能寫一個,寫錯、多寫記0分)
(2)證明其中任意一個特殊四邊形;
(3)寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線交x軸于點A(-2,0),點B(4,0),交y軸于點C(0,4).
(1)求拋物線的解析式,并寫出頂點D的坐標;
(2)若直線y=x交拋物線于M,N兩點,交拋物線的對稱軸于點E,連接BC,EB,EC.試判斷△EBC的形狀,并加以證明;
(3)設P為直線MN上的動點,過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點F.問:在直線MN上是否存在點P,使得以P,E,D,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P及相應的點F的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,拋物線的頂點坐標為M(1,4),與x軸的一個交點是A(-1,0),與y軸交于點B,直線x=1交x軸于點N.
(1)求拋物線的解析式及點B的坐標;
(2)求經(jīng)過B、M兩點的直線的解析式,并求出此直線與x軸的交點C的坐標;
(3)若點P在拋物線的對稱軸x=1上運動,請你探索:在x軸上方是否存在這樣的P點,使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過點A,并且與直線BM相切?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點A(-3,0),點B(1,0),交y軸于點E(0,-3)精英家教網(wǎng).點C是點A關于點B的對稱點,點F是線段BC的中點,直線l過點F且與y軸平行.直線y=-x+m過點C,交y軸于D點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)點K為線段AB上一動點,過點K作x軸的垂線與直線CD交于點H,與拋物線交于點G,求線段HG長度的最大值;
(3)在直線l上取點M,在拋物線上取點N,使以點A,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,求點N的坐標.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸兩交點是A(-1,0),B(3,0),則如圖可知y<0時,x的取值范圍是(  )
A、-1<x<3B、3<x<-1C、x>-1或x<3D、x<-1或x>3

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