Question

（2013•六合區一模）如圖1，直線l垂直于x軸，垂足的坐標為（1，0），點A的坐標為（2，1），其關于直線l對稱點為點B．若此時分別以點A，B為圓心，1cm為半徑畫圓，則此時這兩個圓外切．我們稱⊙A與⊙B關于直線l“對稱外切”． 
（1）如圖2若直線l是函數y=

4

3

x的圖象，⊙A是以點A為圓心，1cm為半徑的圓．判斷函數y=

4

3

x圖象與⊙A的位置關系，并證明你的結論；
（2）請直接寫出與⊙A關于函數y=

4

3

x圖象的“對稱外切”的⊙B的圓心坐標．

Answer 1

分析：（1）設過點A與x軸平行的直線交y軸于點C，函數y=

4

3

x的圖象與直線AC交于點D，過點A作AE垂直于直線y=

4

3

x，垂足為E，根據直線解析式求出CD的長，再求出AD的長，然后利用勾股定理列式求出OD，從而得到AD=OD，再利用“角角邊”證明△COD和△EAD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CO，最后根據切線的定義證明即可；
（2）連接AB，過點B作BF⊥AC于F，利用∠EAD的正弦和余弦求出BF、AF的長，然后求出點B的橫坐標與縱坐標即可得解．

解答：解：（1）如圖，設過點A與x軸平行的直線交y軸于點C，函數y=

4

3

x的圖象與直線AC交于點D，
過點A作AE垂直于直線y=

4

3

x，垂足為E．　
當y=1時，x=

3

4

，
即CD=

3

4

，
∴AD=2-

3

4

=

5

4

，
在Rt△COD中，根據勾股定理，得OD²=OC²+CD²=

25

16

，
∴OD=

5

4

，
∵AD=

5

4

，OD=

5

4

，
∴AD=OD，
在△COD和△EAD中，

∠OCD=∠AED=90° ∠CDO=∠EDA AD=OD

，
∴△COD≌△EAD（AAS），
∴AE=CO=1，
∴直線y=

4

3

x與⊙A相切；

（2）如圖，連接AB，過點B作BF⊥AC于F，
∵△COD≌△EAD，
∴∠EAD=∠COD，
又AB=1+1=2，
∴BF=AB•sin∠EAD=2×

3 4

5 4

=

6

5

，
AF=AB•cos∠EAD=2×

1

5 4

=

8

5

，
∴點B的橫坐標為：2-

8

5

=

2

5

，
點B的縱坐標：1+

6

5

=

11

5

，
所以，點B（

2

5

，

11

5

）．

點評：本題是圓的綜合題型，主要利用了勾股定理，全等三角形的判定與性質，圓的切線的判定，銳角三角函數，（1）作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，（2）作輔助線利用銳角三角函數求解更加簡便．