Question

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，⊙O經過A、D、B三點，CB的延長線交⊙O于點E（如圖1）．
在滿足上述條件的情況下，當∠CAB的大小變化時，圖形也隨著改變（如圖2），在這個變化過程中，有些線段總保持著相等的關系．
（1）觀察上述圖形，連接圖2中已標明字母的某兩點，得到一條新線段與線段CE相等，請說明理由；
（2）在圖2中，過點E作⊙O的切線，交AC的延長線于點F．
①若CF=CD，求sin∠CAB的值；
②若

CF

CD

=n（n＞0），試用含n的代數式表示sin∠CAB（直接寫出結果）．

Answer 1

分析：（1）連接AE，由圖不難看出OD是三角形ABC的中線，那么OD=

1

2

CE，又因為OD是半徑，AE是直徑，因此AE=CE；
（2）若CD=CF，那么AD=CD=CF，由圖不難得出Rt△ADE∽Rt△EDF，那么就可用AD，DF表示出DE，然后根據直角三角形CDE中，CE²=CD²+DE²，這樣就能表示出CE了，那么∠CED的正弦函數也就求出來了，∠CAB的正弦值也就有了．

解答：解：（1）連接AE，
求證：AE=CE．
證明：如圖，連接OD，
∵∠ABC=90°，CB的延長線交⊙O于點E，
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O的直徑，
∵D是AC的中點，O是AE的中點，
∴OD=

1

2

CE
∵OD=

1

2

AE
∴AE=CE．

（2）①根據題意畫出圖形，如圖，連接DE，
∵AE是⊙O的直徑，EF是⊙O的切線，
∴∠ADE=∠AEF=90°，
∴Rt△ADE∽Rt△EDF，
∴

AD

DE

=

DE

DF

．
設AD=k（k＞0），則DF=2k，
∴

k

DE

=

DE

2k

，
∴DE=

2

k．
在Rt△CDE中，
∵CE²=CD²+DE²=k²+（

2

k）²=3k²，
∴CE=

3

k，
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠DCE，
∴∠CAB=∠DEC，
sin∠CAB=sin∠DEC=

CD

CE

=

3

3

．
②sin∠CAB=

n+2

n+2

（n＞0）．

點評：本題綜合考查了切線的性質，相似三角形，解直角三角形等知識點的運用．此題是一個大綜合題，難度較大．