Question

如圖，在平面直角坐標系中放置一矩形ABCO，其頂點為A（0，1）、B（-3

3

，1）、C（-3

3

，0）、O（0，0）．將此矩形沿著過E（-

3

，1）、F（-

4 3

3

，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應點分別為B′、C′．
（1）求折痕所在直線EF的解析式；
（2）一拋物線經過B、E、B′三點，求此二次函數解析式；
（3）能否在直線EF上求一點P，使得△PBC周長最小？如能，求出點P的坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據E、F的坐標，設出直線式EF的解析式為y=kx+b，兩點坐標代入，求出k和b即可；
（2）過B′作B′A′⊥BA于A′，在Rt△B′EA′中，通過解直角三角形可求出A′E、A′B′的長，通過證A′E=AE，得出B′在y軸上的結論，從而得出B′坐標，進而用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）連接B′C，由于B、B′關于EF所在直線對稱，則B′C與折痕的交點即為所求的P點，可求出直線B′C的解析式，聯立折痕EF的解析式即可求出P點坐標．

解答：解：（1）由于折痕所在直線EF過E（-

3

，1）、F（-

4 3

3

，0），則有：
∴設直線EF的解析式為y=kx+b，
∴

1=- 3 k+b 0=- 4 3 3 k+b

；
解得k=

3

，b=4，
所以直線EF的解析式為：y=

3

x+4．

（2）設矩形沿直線EF向右下方翻折后，B、C的對應點為B′（x₁，y₁），C′（x₂，y₂）；
過B′作B′A′⊥AE交AE所在直線于A′點；
∵B′E=BE=2

3

，∠B′EF=∠BEF=60°，
∴∠B′EA′=60°，
∴A′E=

3

，B′A′=3；
∴A與A′重合，B′在y軸上；
∴x₁=0，y₁=-2，
即B′（0，-2）；【此時需說明B′（x₁，y₁）在y軸上】．
設二次函數解析式為：y=ax²+bx+c，拋物線過B（-3

3

，1）、E（-

3

，1）、B′（0，-2）；
得到

c=-2 3a- 3 b+c=1 27a-3 3 b+c=1

，
解得

a=- 1 3 b=- 4 3 3 c=-2

∴該二次函數解析式y=-

1

3

x²-

4 3

3

x-2；

（3）能，可以在直線EF上找到P點；
連接B′C交EF于P點，再連接BP；
由于B′P=BP，此時點P與C、B′在一條直線上，故BP+PC=B′P+PC的和最小；
由于BC為定長，所以滿足△PBC周長最小；
設直線B′C的解析式為：y=kx+b，則有：

-2=b 0=-3 3 k+b

，
解得

k=- 2 3 9 b=-2

；
∴直線B′C的解析式為：y=-

2 3

9

x-2；
又∵P為直線B′C和直線EF的交點，
∴

y=- 2 3 9 x-2 y= 3 x+4

，
解得

x=- 18 11 3 y=- 10 11

；
∴點P的坐標為（-

18 3

11

，-

10

11

）．

點評：此題主要考查了一次函數、二次函數解析式的確定，軸對稱圖形的性質、函數圖象交點等知識，難度偏大．