Question

我區(qū)的自然風光無限，最具特色的是青龍大峽谷（A）和文佛奇峰山（B），它們位于筆直的高速公路X同側，AB=10km，A，B到直線X的距離分別為AE=10.5km和BD=4.5km．
（1）方案一：旅游開發(fā)公司計劃在高速公路X旁修建一服務區(qū)C，并從服務區(qū)C向A、B兩景區(qū)修建筆直公路運送游客．公司選擇較節(jié)省的方案（如圖1：點B關于直線X的對稱點是B₁，連接AB₁交直線X于點C），C到A、B的距離之和S₁=AC+BC，求S₁．
（2）方案二：在A，B兩景區(qū)之間有一條與高速公路X垂直的省級公路Y，且A到省級公路Y的距離AH=7km（如圖2）．旅游開發(fā)公司打算在省級公路Y旁修建一服務區(qū)P，并從服務區(qū)P向A、B兩景區(qū)修建筆直公路運送游客．由于地形條件的限制，P只能選擇圖2的位置，通過測量得PA=PB，P到A、B的距離之和S₂=AP+BP．請你通過計算比較S₁，S₂的大小．（參考數(shù)據(jù)：

2

≈1.414）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出BF的長，再利用點B關于直線X的對稱點是B₁，求證△AEC∽△CDB₁，利用相似三角形對應變成比例求出EC和CD，然后利用勾股定理分別求出AC、BC即可．
（2）過B點作BN⊥AE，交公路Y于M，交AE于N，利用軸對稱-最短線路問題求出BM，設PH=x，根據(jù)勾股定理和已知條件AP=BP列出方程，求出PH，然后即可求得AP，從而可以比較比較S₁，S₂的大小．

解答：解：由筆直的高速公路X同側，AB=10km，A，B到直線X的距離分別為AE=10.5km和BD=4.5km．知，BF=DF-BD=10.5-4.5=6，
∴AF=

AB2-BF2

=

100-36

=8，
∵點B關于直線X的對稱點是B₁，
∴BB₁⊥CD，∴BD=DB₁，
∴

AE

DB1

=

EC

CD

，
∴

10.5

4.5

=

EC

8-EC

，
∴EC=5.6，
則CD=BD-EC=8-5.6=2.4，
AC=

AE2+EC2

=

10.52+5.62

=11.9，
BC=

CD2+BD2

=

2.42+4.52

=5.1，
S₁=AC+BC=11.9+5.1=17km，
答：（1）S₁=17km；

（2）過B點作BN⊥AE，交公路Y于M，交AE于N，
∵Y⊥X，∴AN=HM=10.5-4.5=6，
∵ED=8（已求出），AH=7（已知），
∴BM=BN-NM=ED-AH=8-7=1，
設PH=x，則PM=HM+PH=6+x，
在Rt△AHP中，AP²=AH²+PH²，
在Rt△PBM中，BP²=PM²+MB²，
又∵AP=BP，
∴7²+x²=（x+6）²+1²，
解得x=1，則AP=

AH2+PH2

=

49+1

=5

2

，
S2=2AP=10

2

=14.14．
∵10

2

＜17，
∴S₁＞S₂．

點評：此題主要考查學生對軸對稱-最短線路問題和勾股定理的應用等知識點．步驟繁瑣有一定的拔高難度，屬于難題．