Question

用長8m的鋁材，做一個日字形窗框，如圖，問：
（1）高和寬各多少m時，窗戶的透光面積為m²？
（2）可不可能使窗戶的透光面積為2.7m²？
（3）高和寬各多少m時，窗戶的透光面積有最大值，最大面積為多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設窗戶的寬為x米，則窗戶的高為米，利用=x（），解方程得出即可；
（2）根據2.7=x（），整理為一元二次方程一般形式，進而利用△判斷即可；
（3）設出矩形窗戶的透光面積為S平方米，窗戶的寬為x米，則窗戶的高為米，利用長方形的面積求出函數解析式，進一步利用函數求最大值．
解答：解：（1）設窗戶的寬為x米，則窗戶的高為米，
當窗戶的透光面積為m²，
即=x（），
解得：x₁=x₂=，
則=2，
高和寬，為2m和時，窗戶的透光面積為m²；

（2）當窗戶的透光面積為2.7m²，
即2.7=x（），
整理得出：3x ²-8x+5.4=0，
則b²-4ac=64-64.8=-0.8＜0，
故不可能使窗戶的透光面積為2.7m²；


（3）設矩形窗戶的透光面積為S平方米，窗戶的寬為x米，則窗戶的高為米，
由此得出S=x（），
整理得S=-x²+4x=-（x-）²+，
因為-＜0，拋物線開口向下，取得最大值，最大值為．
點評：此題主要考查了利用二次函數求實際問題的最大值與最小值以及一元二次方程的應用，表示出矩形窗戶的高是解題關鍵．