Question

教材第66頁探索平方差公式時設置了如下情境：邊長為b的小正方形紙片放置在邊長為a的
大正方形紙片上（如圖9?6），你能通過計算未蓋住部分的面積得到公式(a + b) (a ? b) = a²? b²嗎？
（不必證明）
(1)如果將小正方形的一邊延長（如圖①），是否也能推導公式？請完成證明．

(2) 面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導或驗證公式，俗稱“無字證明”．例如，著名的趙爽弦圖（如圖②，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c²，也可以表示為4´ab + (a ? b)²，由此推導出重要的勾股定理：a² + b² = c²．
圖③為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你完成證明．

(3) 試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋(a ? 2b)² = a²? 4ab + 4b²，畫在下面的格點中，并標出字母a、b所表示的線段．

Answer 1

(1) 未蓋住部分的面積為：a²? b²，
也可以看作a (a ? b) + b ( a ? b) =" (a" ? b) ( a + b)；
∴(a ? b) ( a + b)= a²? b²．
(2) 梯形ABCD的面積為：(a + b) (a + b)，
又可以表示為：2´ab + c²．
∴(a + b) (a + b) = 2´ab + c²，化簡得：a² + b² = c²
(3)

解析