Question

如圖，大圓O的半徑OC是小圓O₁的直徑，且有OC垂直于圓O的直徑AB．圓O₁的切線(xiàn)AD交OC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，切點(diǎn)為D．
（1）試探究CD與AO₁的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若DE=4，CE=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）CD∥AD
證明：連接OD，
∵OC是⊙O₁的直徑，
∴∠ODC=90°
∵AD，AO是⊙O₁的切線(xiàn)，
∴AO₁⊥OD，
∴CD∥AD

（2）∵DE是⊙O₁的切線(xiàn)，
∴DE²=EC•EO，即16=2EO，
∴EO=8，
∴OC=OE-EC=8-2=6．
∴AD=AO=OC=6．
分析：（1）連接OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及切線(xiàn)長(zhǎng)定理即可證得AO₁與CD都與OD垂直，即可證得CD∥AD；
（2）根據(jù)切割線(xiàn)定理即可求得OE的長(zhǎng)，進(jìn)而求得半徑OC的長(zhǎng)，再依據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理即可求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，切割線(xiàn)定理，關(guān)鍵是證明：AO₁與CD都與OD垂直．