Question

正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直，
（1）證明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；
（3）梯形ABCN的面積是否可能等于11？為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，得到四個內角為直角，四條邊相等，再由AM與MN垂直得到∠AMN為直角，根據平角的定義得到一對角互余，再由直角三角形ABM的兩銳角互余得到一對角互余，根據同角的余角相等可得出一對角相等，再由一對直角相等，根據兩對應角相等的兩三角形相似可得證；
（2）由正方形的邊長為4，BM=x，由BC-BM表示出MC，再由第一問得到的兩三角形相似，根據相似三角形對應邊成比例列出關系式，將AB，BM及MC代入，表示出NC，由NC與AB平行不相等，且角B為直角，可得出ABCN為直角梯形，根據梯形的面積公式表示出梯形的面積，可得出y與x的函數關系式；
（3）梯形ABCN的面積不可能等于11，理由為：假設能等于11，令第二問求出的函數解析式中y=11，得到關于x的方程，根據根的判別式小于0，得到此方程無解，故假設錯誤，梯形ABCN的面積不可能等于11．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，又∠B=∠C，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）∵BM=x，正方形的邊長為4，
∴AB=4，MC=BC-BM=4-x，
又∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴=，
∴CN==，
∵NC∥AB，NC≠AB，∠B=90°，
∴四邊形ABCN為直角梯形，又ABCN的面積為y，
∴y=（CN+AB）•BC=（+4）×4=-x²+2x+8（0＜x＜4）；

（3）梯形ABCN的面積不可能等于11，理由為：
假設梯形ABCN的面積等于11，
令y=11得：-x²+2x+8=11，
整理得：x²-4x+6=0，
∵b²-4ac=（-4）²-24=-8＜0，
∴此方程無解，即假設錯誤，
則梯形ABCN的面積不可能等于11．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質，以及不解方程，利用根的判別式判斷方程解的情況，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．