Question

老師在黑板上寫出三個算式：5²-3²=8×2，9²-7²=8×4，15²-3²=8×27，王華接著又寫了兩個具有同樣規律的算式：11²-5²=8×12，15²-7²=8×22，…

（1）請你再寫出兩個（不同于上面的算式）具有上述規律的算式；

（2）用文字寫出反映上述算式的規律；

（3）證明這個規律的正確性．

Answer 1

解：（1）11²-9²=8×5，13²-11²=8×6．

（2）規律：任意兩個奇數的平方差是8的倍數．

（3）設m，n為整數，兩個奇數可表示為2m+1和2n+1，

則（2m+1）²-（2n+1）²=4（m-n）（m+n+1）．

當m，n同是奇數或偶數時，m-n一定為偶數，所以4（m-n）一定是8的倍數．

當m，n一奇、一偶時，則m+n+1一定為偶數，所以4（m+n+1）一定是8的倍數.

所以任意兩個奇數的平方差是8的倍數．