Question

閱讀并回答問題：
數學課上，探討角平分線的作法時，李老師用直尺和圓規作角平分線，方法如下：

作法：①在OA，OB上分別截取OD，OE，使OD=OE． ②分別以D，E為圓心，以大于為半徑作弧， 兩弧在∠AOB內交于點C． ③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線

小聰只帶了直角三角板，他發現利用三角板也可以作角平分線，方法如下：

作法：①利用三角板上的刻度，在OA，OB上分別截取OM，ON，使OM=ON． ②分別過以M，N為OM，ON的垂線，交于點P． ③作射線OP，則OP就是∠AOB的平分 線．

小穎的身邊只有刻度尺，經過嘗試，她發現利用刻度尺也可以作角平分線．根據以上情境，解決下列問題：
（1）小聰的作法正確嗎？請說明理由；
（2）請你幫小穎設計用刻度尺作∠AOB平分線的方法．（要求：不與小聰方法相同，請畫出圖形，并寫出畫圖的方法，不必證明）．

Answer 1

解：（1）小聰的作法正確．理由如下：
∵PM⊥OM，PN⊥ON，
∴∠OMP=∠ONP=90°．
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∵OP=OP，OM=ON，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），
∴∠MOP=∠NOP．
∴OP平分∠AOB；

（2）如圖所示．


步驟：①利用刻度尺在OA、OB上分別截取OG=OH．
②連接GH，利用刻度尺作出GH的中點Q．
③作射線OQ．
則OQ為∠AOB的平分線．
分析：（1）根據HL可證Rt△OMP≌Rt△ONP，再根據全等三角形的性質即可作出判斷；
（2）根據用刻度尺作角平分線的方法作出圖形，寫出作圖步驟即可．
點評：本題考查了用刻度尺作角平分線的方法，全等三角形的判定與性質，難度不大．