Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦AD∥OC，OC交⊙O于E．
（Ⅰ）求證：CD是⊙O的切線；
（Ⅱ）若BC=4，CE=2．求AB和AD的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接OD，根據切線的性質得到∠OBC=90°，而AD∥OC，OA=OD，得∠1=∠A，∠2=∠3，∠3=∠A，則∠1=∠2，易證△OBC≌△ODC，得到∠OBC=∠ODC=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；
（Ⅱ）設⊙O的半徑為r，在Rt△OBC中，利用勾股定理得到r²+4²=（2+r）²，解得r，即求得AB；連接BD，由AB為⊙O的直徑，根據圓周角定理得到∠ADB=90°，易證得Rt△OBC～Rt△ADB，利用相似比即可計算出AD．

解答：（Ⅰ）證明：連接OD，如圖，

∵BC為⊙O的切線，B為切點，
∴∠OBC=90°，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠A，∠2=∠3，
又∵OA=OD，
∴∠3=∠A，
∴∠1=∠2，
在△OBC和△ODC中，

BO=DO ∠1=∠2 OC=OC

，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=90°，
∴DC為⊙O的切線；

（Ⅱ）解：設⊙O的半徑為r，
在Rt△OBC中，r²+4²=（2+r）²
解得r=3，
∴AB=6，
連接BD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠OBC=90°，
又∠1=∠A，
∴△OBC∽△ADB，
∴

OB

AD

=

OC

AB

，
∴

3

AD

=

5

6

，
∴AD=3.6．

點評：本題考查了圓的切線的判定與性質定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理的推論以及三角形全等和相似的判定與性質．