Question

已知：如圖，AD是△ABC的高，E是AD上一點．AD=BD，DE=DC，
求證：（1）∠1=∠C．（2）BE⊥AC．

Answer 1

分析：（1）先根據AD是△ABC的高，得出∠ADB=∠ADC=90°，再根據AD=BD，DE=DC得出△BDE≌△ADC，即可證出∠1=∠C．
（2）由（1）可知△BDE≌△ADC，得出∠DBE=∠CAD，再根據∠CAD+∠C=90°，得出∠CBF+∠C=90°，從而得出∠BFC=90°，即可證出BE⊥AC．

解答：證明：（1）∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AD=BD，DE=DC，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∵

AD=BD ∠ADB=∠ADC DE=DC

，
∴△BDE≌△ADC，
∴∠1=∠C；

（2）先延長BE交AC上一點F，
∵△BDE≌△ADC，
∴∠DBE=∠CAD，
∵∠CAD+∠C=90°，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠BFC=90°
∴BF⊥AC，
∴BE⊥AC．

點評：本題主要考查等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵在于根據∠ABD=∠BAD推出AD=BD，推出△BDE≌△ADC，是一道基礎題．