Question

若實數(shù)a，b滿足a+b²=1，則2a²+7b²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)a+b²=1求出a的取值范圍，再把代數(shù)式變形，然后結(jié)合結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及b的取值范圍求得結(jié)果．

解答：解：∵a+b²=1，
∴a=1-b²
∴2a²+7b²=2（1-b²）²+7b²=2b⁴+3b²+2=2（b²+

3

4

）²+2-

9

8

=2（b²+

3

4

）²+

7

8

，
∵b²≥0，
∴2（b²+

3

4

）²+

7

8

＞0，
∴當(dāng)b²=0，即b=0時，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．
方法二：∵a+b²=1，
∴b²=1-a，
∴2a²+7b²=2a²+7（1-a）=2a²-7a+7=2（a-

7

4

）²+

7

8

，
∵b²≥0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
∴當(dāng)a=1，即b=0時，2a²+7b²的值最小．
∴最小值是2．

點評：此題比較復(fù)雜，是中學(xué)階段的難點，綜合性比較強(qiáng)，解答此題的關(guān)鍵是先求出b的取值范圍，再把已知代數(shù)式變形后代入未知，把求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)式的最小值，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及b的取值范圍解答．