Question

10、在等邊△ABC所在平面內找出一個點，使它與三角形中的任意兩個頂點所組成的三角形都是等腰三角形．這樣的點一共有（　　）

A、1個

B、4個

C、7個

D、10個

Answer 1

分析：本題利用了等邊三角形是軸對稱圖形，三條高所在的直線也是對稱軸，也是邊的中垂線．

解答：解：在等邊△ABC中，三條邊上的高交于點O，
由于等邊三角形是軸對稱圖形，三條高所在的直線也是對稱軸，也是邊的中垂線，
點O到三個頂點的距離相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，則點O是滿足題中要求的點，
高與頂角的的兩條邊成的銳角為30°，以點A為圓心，AB為半徑，做圓，延長AO交圓于點E，
由于點E在對稱軸AE上，有EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，點E也是滿足題中要求的點，
作AD⊥AB交圓于點D，則有AC=AD，AD=AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，點D也是滿足題中要求的點，同理，作AF⊥AC交圓于點F，則點F也是滿足題中要求的點；
同理，以點B為圓心，AB為半徑，做圓，
以點C為圓心，AB為半徑，做圓，都可以分別得到同樣性質的三個點滿足題中要求，
于是共有10個點能使點與三角形中的任意兩個頂點所組成的三角形都是等腰三角形．
故選D．

點評：本題容易找出三條邊上的高交于點O，是滿足題中要求的點，其它點容易漏掉，這樣的點不一定是等腰三角形的頂角所在的點，也可以是底角所在的點，明白這點后，就要做圓來找到所要求的點．