Question

如圖，將矩形ABCD沿MN折疊，使點B與點D重合．
（1）求證：DM=DN；
（2）當AB和AD滿足什么數量關系時，△DMN是等邊三角形？并說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形對邊平行得∠1=∠3，根據折疊的性質得∠1=∠2，所以∠2=∠3，得DM=DN；
（2）假設△DMN是等邊三角形，則∠ADM=30°．有MD=2AM，AD=AM，AB=3AM，得AB=AD．
解答：（1）證明：由題意知∠1=∠2，
又AB∥CD，得∠1=∠3，
則∠2=∠3．
故DM=DN；

（2）解：當AB=AD時，△DMN是等邊三角形．
證明：連接BD．
∵∠A=90°，AB=AD，
∴tan∠ABD==，
∴∠ABD=30°．
∵BM=MD，
∴∠ABD=∠MDB=30°，
∴∠BMD=120°．
∴∠1=∠2=60°．
又DM=DN，
∴△DMN是等邊三角形．
點評：此題通過折疊考查了三角形的有關知識，難度中等．