Question

【題目】如圖,四 邊形OABC是矩形,點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，△ODE是由△OCB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,點(diǎn)D在X軸上，直線BD交Y軸于點(diǎn)F,交OE于點(diǎn)H,線段BC、OC的長是方程x2-6x+8=0的兩個(gè)根，且OC＞BC.

（1）求直線BD的解析式.

（2）求 △OFH的面積.

（3）點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】解：y=-x+；（2）；（3）存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，-）或（-4，-）或（4，）．

【解析】

（1）解方程可求得OC、BC的長，可求得B、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BD的解析式；

（2）可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線OE的解析式，聯(lián)立直線BD、OE解析式可求得H點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求得△OFH的面積；

（3）當(dāng)△MFD為直角三角形時(shí)，可找到滿足條件的點(diǎn)N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三種情況，分別求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，可分別求得矩形對角線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得N點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）解方程x2-6x+8=0可得x=2或x=4，

∵BC、OC的長是方程x2-6x+8=0的兩個(gè)根，且OC＞BC，

∴BC=2，OC=4，

∴B（-2，4），

∵△ODE是△OCB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

∴OD=OC=4，DE=BC=2，

∴D（4，0），

設(shè)直線BD解析式為y=kx+b，

把B、D坐標(biāo)代入可得，解得，

∴直線BD的解析式為y=-x+；

（2）由（1）可知E（4，2），

設(shè)直線OE解析式為y=mx，

把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得m=，

∴直線OE解析式為y=x，

令，解得x=，

∴H點(diǎn)到y軸的距離為，

又由（1）可得F（0，），

∴OF=，

∴S△OFH=××=；

（3）∵以點(diǎn)D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，

∴△DFM為直角三角形，

①當(dāng)∠MFD=90°時(shí)，則M只能在x軸上，連接FN交MD于點(diǎn)G，如圖1，

由（2）可知OF=，OD=4，

則有△MOF∽△FOD，

∴，即，解得OM=，

∴M（-，0），且D（4，0），

∴G（，0），

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則，，

解得x=，y=-，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）；

②當(dāng)∠MDF=90°時(shí)，則M只能在y軸上，連接DN交MF于點(diǎn)G，如圖2，

則有△FOD∽△DOM，

∴，即，解得OM=6，

∴M（0，-6），且F（0，），

∴MG=MF=，則OG=OM-MG=6-=，

∴G（0，-），

設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則 =0，，

解得x=-4，y=-，此時(shí)N（-4，-）；

③當(dāng)∠FMD=90°時(shí)，則可知M點(diǎn)為O點(diǎn)，如圖3，

∵四邊形MFND為矩形，

∴NF=OD=4，ND=OF=，

可求得N（4，）；

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，-）或（-4，-）或（4，）．