Question

（2005•嘉興）有一種汽車用“千斤頂”，它由4根連桿組成菱形ABCD，當螺旋裝置順時針旋轉時，B、D兩點的距離變小，從而頂起汽車．若AB=30，螺旋裝置每順時針旋轉1圈，BD的長就減少1．設BD=a，AC=h，
（1）當a=40時，求h值；
（2）從a=40開始，設螺旋裝置順時針方向旋轉x圈，求h關于x的函數解析式；
（3）從a=40開始，螺旋裝置順時針方向連續旋轉2圈，設第1圈使“千斤頂”增高s₁，第2圈使“千斤頂”增高s₂，試判定s₁與s₂的大小，并說明理由；若將條件“從a=40開始”改為“從某一時刻開始”，則結果如何，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據菱形的兩條對角線垂直且平分的性質，然后根據勾股定理，即可求出h值．
（2）首先知道螺旋裝置順時針方向旋轉的圈數與BD之間的關系，然后用勾股定理，就可求出h與x之間的函數關系．
（3）此問首先要搞清楚增高的s是指AC增高了s，根據第2問的函數關系進行推算，就可知道s₁與s₂的大小關系．
解答：解：（1）連AC交BD于O，
∵ABCD為菱形，
∴∠AOB=90°，OA=，OB=20，（3分）
在Rt△AOB中，
∵AO²+BO²=AB²，
即（）²+20²=30²，
∴h=20；（2分）

（2）從a=40開始，螺旋裝置順時針方向旋轉x圈，則BD=40-x，（2分）
∴（）²+（）²=30²，
∴h=；（2分）
（3）結論：s₁＞s₂．
在中，
令x=0得，h=≈44.721；
令x=1得，h₁=≈45.596；
令x=2得，h₂=≈46.435；
∴s₁=h₁-h≈0.88，s₂=h₂-h₁≈0.84，
∴s₁＞s₂；（3分）
也可以如下比較s₁、s₂的大小：
∵
=
=
而79＞77，
∴s₁＞s₂；（3分）
若將條件“從a=40開始”改為“從任意時刻開始”，則結論s₁＞s₂仍成立．
∵，
，
而2a-1＞2a-3，
∴s₁＞s₂．（2分）
點評：菱形的性質是中考常見的一個考點，將其與勾股定理綜合使用，是解決相似題型的常用方法．