Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點D為BC邊上的一個動點（點D不與點B、點C重合）．以D為頂點作∠ADE＝∠B，射線DE交AC邊于點E，過點A作AF⊥AD交射線DE于點F．

（1）求證：ABCE＝BDCD；

（2）當DF平分∠ADC時，求AE的長；

（3）當△AEF是等腰三角形時，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝；（3）BD的長為11或或．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，根據三角形的外角性質得到∠BAD＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根據相似三角形的性質證明結論；

（2）證明，根據平行線的性質得到＝，證明△BDA∽△BAC，根據相似三角形的性質列式計算，得到答案；

（3）分點F在DE的延長線上、點F在線段DE上兩種情況，根據等腰三角形的性質計算即可．

（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，

∴△BAD∽△CDE，

∴＝，即ABCE＝BDCD；

（2）解：∵DF平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE，

∵∠CDE＝∠BAD，

∴∠ADE＝∠BAD，

∴，

∴＝，

∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，

∴△BDA∽△BAC，

∴＝，即＝

解得，BD＝，

∴＝，

解得，AE＝；

（3）解：作AH⊥BC于H，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BH＝HC＝BC＝8，

由勾股定理得，AH＝＝＝6，

∴tanB＝＝，

∴tan∠ADF＝＝，

設AF＝3x，則AD＝4x，

由勾股定理得，DF＝＝5x，

∵△BAD∽△CDE，

∴＝，

當點F在DE的延長線上，FA＝FE時，DE＝5x﹣3x＝2x，

∴＝，

解得，CD＝5，

∴BD＝BC﹣CD＝11，

當EA＝EF時，DE＝EF＝2.5x，

∴＝，

解得，CD＝，

∴BD＝BC﹣CD＝；

當AE＝AF＝3x時，DE＝x，

∴＝，

解得，CD＝，

∴BD＝BC﹣CD＝；

當點F在線段DE上時，∠AFE為鈍角，

∴只有FA＝FE＝3x，則DE＝8x，

∴＝，

解得，CD＝20＞16，不合題意，

∴△AEF是等腰三角形時，BD的長為11或或．