Question

如圖，圓錐的底面半徑OA=2cm，高為PO=4

2

cm，現有一個螞蟻從A出 發引圓錐側面爬到母線PB的中點，則它爬行的最短路程為（　　）

• A．3

  3

  cm
• B．6cm
• C．4

  3

  cm
• D．6

  3

  cm

Answer 1

分析：沿PA剪開展開后得出扇形PAA′，連接AA′交PB于N，連接AM，則AM的長為螞蟻爬行的最短路程由勾股定理求出PA=PB=6（cm），求出弧AB的長，求出弧AB對的圓心角，在Rt△PNA中，求出PN=3，AN=3

3

，求出PM=BM=

1

2

PB=3cm，即可得出M和N重合，得出即可．

解答：
解：沿PA剪開展開后得出扇形PAA′，連接AA′交PB于N，連接AM，則AM的長為螞蟻爬行的最短路程，
∵由勾股定理得：PA=PB=

AO2+PO2

=

22+(4 2 )2

=6（cm），
∴弧AB=

1

2

×（2π×2）=2π（cm），
∴弧AB對的圓心角是

2π

6

=

1

3

π=60°，
∴在Rt△PNA中，PN=PA•cos60°=3cm，AN=PA•sin60°=3

3

（cm），
∵M為PB中點，
∴PM=BM=

1

2

PB=

1

2

×6cm=3cm，
即M和N重合，
∴AM=AN=3

3

cm，
故選A．

點評：本題考查了解直角三角形，勾股定理，求弧長公式，最短路線問題的應用，主要考查學生的計算能力．