Question

35、你能比較兩個數2006²⁰⁰⁷和2007²⁰⁰⁶的大小嗎？為了解決這個問題，先把問題一般化，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n≥1的整數）．然后從分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形入手，從中發現規律，經過歸納，猜想出結論．
（1）通過計算：比較①～⑦各組兩個數的大小（在橫線上填“＞”“=”“＜”）
①1²

＜

2¹；②2³

＜

3²；③3⁴

＞

4³；④4⁵

＞

5⁴；⑤5⁶

＞

6⁵；
⑥6⁷

＞

7⁶；⑦7⁸

＞

8⁷；
（2）從上面各小題目的結果經過歸納，可以猜想出nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關系是nⁿ⁺¹

當n=1或n=2時，n ⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（n+1）ⁿ
（3）根據上面歸納猜想到的結論，可以得到2006²⁰⁰⁷

＞

2007²⁰⁰⁶（填“＞”“=”“＜”）

Answer 1

分析：先通過計算比較（1）中的數據大小．
從（1）中通過歸納可以得出nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小關系是當n=1或n=2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n≥3時，n ⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
直接利用（2）中結論得出（3）中的答案即可．

解答：解：（1）①1²＜2¹；②2³＜3²；③3⁴＞4³；④4⁵＞5⁴；⑤5⁶＞6 ⁵⑥6⁷＞7⁶；⑦7⁸＞8⁷；

（2）當n=1或n=2時，n ⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ；當n≥3時，n ⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）2006²⁰⁰⁷＞2007²⁰⁰⁶．

點評：本題主要考查了學生的歸納總結的數學能力．解題關鍵是會從材料中找到數據之間的關系，并利用數據之間的規律總結出一般結論，然后利用結論直接進行解題．