Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長.
小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：
(1) 分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，求證：四邊形AEGF是正方形；
(2) 設AD=x，建立關于x的方程模型，求出x的值.

Answer 1

（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．（1分）
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°．
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
又∵AE=AD，AF=AD，
∴AE=AF．
∴四邊形AEGF是正方形．
（2）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x，
∵BD=2，DC=3，
∴BE=2，CF=3．
∴BG=x﹣2，CG=x﹣3．
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²
∴（x﹣2）²+（x﹣3）²=5²，
∴（x﹣2）²+（x﹣3）²=5²，化簡得，x²﹣5x﹣6=0．
解得x₁=6，x₂=﹣1（舍），
所以AD=x=6．

解析