Question

如圖1，等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合，將此三角板繞點A旋轉，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點E，F，連接EF．
（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數量關系，并證明你的猜想；
（2）在圖1中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數量關系；
（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想AM與AB之間的數量關系．并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據四邊形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，證△EAQ≌△EAF，
推出EF=BQ即可；
（2）根據△EAQ≌△EAF，EF=BQ得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可；
（3）延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，根據折疊和已知得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，證△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，證△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可．
解答：（1）EF=BE+DF，
證明：如答圖1，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAE+∠BAQ=45°，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．

（2）解：AM=AB，
理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，
∴×BQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．

（3）AM=AB，
證明：如答圖2，延長CB到Q，使BQ=DF，連接AQ，

∵折疊后B和D重合，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，
在△ADF和△ABQ中
，
∴△ADF≌△ABQ（SAS），
∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，
∵∠FAE=∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，
即∠EAQ=∠FAE，
在△EAQ和△EAF中

∴△EAQ≌△EAF，
∴EF=BQ，
∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，
∴×BQ×AB=×FE×AM，
∴AM=AB．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質和判定，折疊的性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，題目比較典型，證明過程類似．