Question

（2005•沈陽）如圖1，△ABC內接于⊙O，AD平分∠BAC，交直線BC于點E，交⊙O于點D．
（1）過點D作MN∥BC，求證：MN是⊙O切線；
（2）求證：AB•AC=AD•AE；
（3）如圖2，AE平分∠BAC的外角∠FAC，交BC的延長線于點E，EA的延長線交⊙O于點D．結論AB•AC=AD•AE是否仍然成立？如果成立，請寫出證明過程；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想證MN是⊙O的切線，只要連接OD，求證OD⊥MN即可．
（2）欲證AB•AC=AD•AE，只需連接CD，AD平分∠BAC知∠BAD=∠CAD，圓周角知∠B=∠D，證明△ABE∽△ADC得出比例關系即可；
（3）欲證AB•AC=AD•AE，證明△AEC∽△ABD即可．
解答：證明：（1）連接OD交BC于點H，
∵AD平分∠BAC，
∴．
∴OD⊥BC于H．
∵BC∥MN，
∴OD⊥MN于點D．
∴MN是⊙O的切線．

（2）連接CD，
∵∠ABE=∠ADC，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC．
∴．
∴AB•AC=AD•AE．

（3）結論AB•AC=AD•AE仍然成立．
連接BD，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE=∠CAE．
∴∠CAE=∠FAE=∠BAD．
∵四邊形ADBC是圓內接四邊形，
∴∠ACE=∠BDA．
∴△AEC∽△ABD．
∴．
∴AB•AC=AD•AE．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過相似三角形的性質得出．