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【背景】小明和小亮研究一道習題：“已知m＞n＞0，若分式

的分子、分母都加上1，所得的分式

n+1

m+1

的值增大了還是減小了？”．
小明想到了“用

減去

n+1

m+1

判斷差的正負性”的思路；
小亮的想法是“可以直接將兩個分式化成分母相同，再比較分子的大小”．
兩人的解題思路都正確．
【問題】
（1）小亮提出問題：已知m＞n＞1，分式

的分子、分母都減去1后所得的分式

n-1

m-1

的值增大了還是減小了？請你探索解答這個問題．
（2）小明進一步提出問題：已知m＞n＞a，分式

的分子、分母都減去a后，所得分式

n-a

m-a

的值增大了還是減小了？請你探索解答這個問題．

分析：（1）先把

n-1

m-1

進行化簡，再根據m＞n＞1進行判斷即可；
（2）先把

n-a

m-a

進行化簡，再分m＞n＞a＞0，0＞m＞n＞a，a＜n＜0＜m，a＜0＜n＜m四種情況進行討論．

解答：解：（1）

n-1

m-1

n(m-1)-m(n-1)

m(m-1)

m-n

m(m-1)

，
∵m＞n＞1，
∴m-n＞0，m（m-1）＞0，
∴

m-n

m(m-1)

＞0，即

＞

n-1

m-1

，
∴分式

的分子、分母都減去1后所得的分式

n-1

m-1

的值減小了；

（2）

n-a

m-a

n(m-a)-m(n-a)

m(m-a)

(m-n)a

m(m-a)

，
∵m＞n＞a，
∴當m＞n＞a＞0時，（m-n）a＞0，m（m-a）＞0，
∴

＞

n-a

m-a

；
當0＞m＞n＞a時，（m-n）a＜0，m（m-a）＜0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＞0，
∴

＞

n-a

m-a

；
當m＞0，n＜0時，a＜n＜0，
∴（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＜0，即

＜

n-a

m-a

；
當m＞n＞0，a＜0時，（m-n）a＜0，m（m-a）＞0，
∴

(m-n)a

m(m-a)

＜0，即

＜

n-a

m-a

．

點評：本題考查的是分式的加減法，在解答（2）時要注意進行分類討論，不要漏解．

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