Question

（2013•福田區一模）如圖，E是正方形ABCD的邊DC上的一點，過A作AF⊥AE，交CB延長線于點F．AE的延長線交BC的延長線于點G．
（1）求證：AE=AF．
（2）若AF=7，DE=2，求EG的長．

Answer 1

分析：（1）首先利用余角的性質證明∠FAB=∠DAE，然后利用ASA即可證明△ABF≌△ADE，根據全等三角形的對應邊相等即可證得；
（2）在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長，則EC的長度即可求得，易證△ADE∽△GCE，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解．

解答：（1）證明：正方形ABCD中，∠BAD=90°，AD=AB，
∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠BAE=90°
∵∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠FAB=∠DAE，
∵在△ABF與△ADE中．

∠FAB=∠DAE AB=AD ∠EBA=∠D

，
∴△ABF≌△ADE（ASA），
∴AE=AF；

（2）解：在Rt△ABF中，
∵∠FBA=90°，AF=7，BF=DE=2
∴AB=

72-22

=3

5

，
∴EC=DC-DE=3

5

-2，
∵∠D=∠ECG=90°，∠DEA=∠CEG，
∴△ADE∽△GCE，
∴

DE

EC

=

AE

EG

，
∴EG=

21 5

2

-7．

點評：本題考查全等三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質，勾股定理，正確證明△ABF≌△ADE是關鍵．