Question

【題目】如圖1，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在線段上以的速度由向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為.

（解決問(wèn)題）

若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)時(shí)，回答下面的問(wèn)題：

(1)；

(2)此時(shí)與是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)求證：；

（變式探究）

若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，是否存在實(shí)數(shù)，使得與全等？若存在，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】解決問(wèn)題（1）1；（2）全等；（3）見(jiàn)解析；變式探究：1或.

【解析】

解決問(wèn)題

（1）當(dāng)t=1時(shí)，AP的長(zhǎng)=速度×?xí)r間；

（2）算出三角形的邊，根據(jù)全等三角形的判定方法判定；

（3）利用同角的余角相等證明∠DPQ=90°；

變式探究

若與全等，則有兩種情況：①≌②≌，分別假設(shè)兩種情況成立，利用對(duì)應(yīng)邊相等求出t值.

解：解決問(wèn)題

（1）∵t=1，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為，

∴AP=1×1=1cm；

（2）全等，理由是：

當(dāng)t=1時(shí)，可知AP=1，BQ=1，

又∵AB=4，BC=3，

∴PB=3，

在△ADP與△BPQ中，

，

∴△ADP≌△BPQ（SAS）

（3）∵△ADP≌△BPQ，

∴∠APD=∠PQB，

∵∠PQB+∠QPB=90°，

∴∠APD+∠QPB=90°，

∴∠DPQ=90°，即DP⊥PQ.

變式探究

①若≌，

則AP=BQ，

即1×t=x×t，

x=1；

②若≌，

AP=BP，即點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，

此時(shí)AP=2，t=2÷1=2s，

AD=BQ=3，

∴x=3÷2=cm/s.

綜上：當(dāng)與全等時(shí)，x的取值為1或.