Question

如圖，線段CD是⊙O的弦，⊙O的半徑是R，點A是優弧CD上的一個動點，作AB⊥CD于E（點E在線段CD上但不與點C﹑D重合），AB交⊙O于B，連接AC﹑CB﹑BD﹑DA．
（1）如圖1，若AB經過圓心O，試探索AD﹑BC和R之間存在著什么樣的數量關系？請用一個等式表達出來并證明你的結論．
（2）如圖2﹑圖3，若AB不經過圓心O時，你探索的上述結論是否依然成立？若不成立，請說明理由；若成立，請任意選一圖證明．
（3）作OF⊥AD于F，試利用圖1探索OF與BC之間存在著什么樣的數量關系？請用一個等式表達出來（不要求證明）；你探索的這個結論在圖2﹑圖3中依然成立嗎？（只要求回答成立還是不成立，不要求寫理由或證明）．

Answer 1

分析：（1）根據垂徑定理得出AC=AD，再利用圓周角定理求出∠ACB=90°，利用勾股定理求出即可；
（2）連接AO并延長到圓上一點M，連接DM，利用圓周角定理得出∠CAB=∠DAM，進而得出BC=DM，即可得出答案；
（3）首先得出FO=

1

2

DM，再利用垂徑定理以及三角形中位線的性質即可得出．

解答：解：（1）（2R）²=AD²+BC²；
證明：∵AB⊥CD，AB交⊙O于B，
∴AC=AD，∠ACB=90°，
∴AB²=AC²+BC²，
即：（2R）²=AD²+BC²；

（2）連接AO并延長到圓上一點M，連接DM，
∵AM是圓O直徑，
∴∠ADM=90°，
∵∠ACD=∠AMD，∠AEC=90°，
∴∠CAB=∠DAM，
∴BC=DM，
∵在Rt△ADM中，AD²+DM²=AM²，
DM=BC，AM=2R，
∴（2R）²=AD²+BC²；

（3）利用垂徑定理以及三角形中位線的性質即可得出，OF=

1

2

BC，
這個結論在圖2﹑圖3中依然成立．

點評：此題主要考查了垂徑定理以及圓周角定的綜合應用、勾股定理的應用等知識，正確作出過圓心的直徑構造出相等的圓周角，利用等量代換得出是解決問題的關鍵．