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(2012•蕭山區(qū)一模)如圖,△ABC中,∠ABC=Rt∠,AB=BC,點M是BC邊上任意一點,點D是AB的延長線上一點,且BM=BD;又點E、F分別是CD、AM邊上的中點,連接FE、EB.
(1)求證:△AMB≌△CDB;
(2)點M在BC邊上移動時,試問∠BEF的度數(shù)是否會發(fā)生變化?若不變,請求出∠BEF的度數(shù);若變化,請說明理由;
(3)若
EF
AC
=
3
5
,且設(shè)∠MAB=α,試求cosα的值.
分析:(1)求出∠ABM=∠CBD,根據(jù)SAS推出全等即可;
(2)根據(jù)全等求出AM=DC,推出BE=BF,求出∠EBF=90°,即可得出∠BEF=45°;
(3)設(shè)EF=3a,AC=5a,由勾股定理求出AB=BC=
5
2
2
a,BF=BE=
3
2
2
a,求出AM=2BF=3
2
a,解直角三角形求出即可.
解答:(1)證明:∵∠ABC=90°,
∴∠ABM=∠CBD=90°,
∵在△AMB和△CDB中
AB=BC
∠ABM=∠CBD
BM=BD

∴△AMB≌△CDB(SAS);

(2)解:∠BEF的度數(shù)不發(fā)生變化,
理由是:連接BF,
∵△AMB≌△CDB,
∴∠DCB=∠MAB,AM=DC,
∵E、F分別為DC、AM中點,∠ABM=∠CBD=90°,
∴BE=DE=CE
1
2
CD,BF=MF=AF=
1
2
AM,
∴BE=BF,∠BAF=∠FBA,∠EBD=∠D,
∵∠D+∠DCB=90°,
∴∠FBA+∠EBD=90,
∴∠FBE=180°-90°=90°,
∵BE=BF,
∴∠BEF=45°;

(3)解:設(shè)EF=3a,AC=5a,
∵∠ABC=90°,AB=BC,
∴由勾股定理得:AB=BC=
5
2
2
a,
同理:BF=BE=
3
2
2
a,
∴AM=2BF=3
2
a,
∴cosα=cos∠MAB=
AB
AM
=
5
2
2
a
3
2
a
=
5
6
點評:本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)和判定,直角三角形斜邊上中線,全等三角形的性質(zhì)和判定,解直角三角形,勾股定理的應(yīng)用,關(guān)鍵是推出△AMB≌△CDB和求出△EBF是等腰直角三角形.
練習冊系列答案
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3x
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x-2
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(5,0)和(1,0)
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m
x
相交于點C、D,且點D的坐標為(1,6).
(1)如圖1,當點C的橫坐標為2時,求點C的坐標和
CD
AB
的值;
(2)如圖2,當點A落在x軸負半軸時,過點C作x軸的垂線,垂足為E,過點D作y軸的垂線,垂足為F,連接EF.
①判斷△EFC的面積和△EFD的面積是否相等,并說明理由;
②當
CD
AB
=2
時,求點C的坐標和tan∠OAB的值;
(3)若tan∠OAB=
1
7
,請直接寫出
CD
AB
的值(不必書寫解題過程)

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