Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．
（1）求AC的長；
（2）設M為AC上一動點，
①當M運動至何處時，線段DM的長度最短，試在圖1中畫出符合要求的線段DM，并求此時DM的長；
②如圖2，當點M運動至AC中點處時，另一動點N從點C出發，以每秒1cm的速度沿CB向點B運動，設點N的運動時間為t秒．求當t 為何值時，將矩形ABCD沿直線MN折疊，可使得點C恰與點A重合？

Answer 1

分析：（1）直接根據勾股定理即可得出結論；
（2）①作DE⊥AC于點E，此時，當M點運動到E點時DM長度最短，在矩形ABCD中根據S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

AC•DE即可得出DE的長；
②當N點運動到使MN⊥AC于點M時，矩形ABCD沿直線MN折疊，折疊后點C恰與點A重合，連結AN．設CN=x，由于點A、C關于直線MN對稱，所以AN=NC=x，故BN=BC-CN=8-x，在Rt△ABN中根據AB²+BN²=AN²即可得出結論．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠B=90°
∴AB²+BC²=AC²，即6²+8²=AC²，
解得，AC=10；

（2）①如圖1，作DE⊥AC于點E，此時，當M點運動到E點時DM長度最短，
在矩形ABCD中，AD=BC=8，CD=AB=6，
∵S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

AC•DE，即

1

2

×6×8=

1

2

×10×DE，
∴DE=

24

5

；
②如圖2，當N點運動到使MN⊥AC于點M時，矩形ABCD沿直線MN折疊，折疊后點C恰與點A重合，連結AN．設CN=x，
∵點A、C關于直線MN對稱，
∴AN=NC=x
∴BN=BC-CN=8-x，
在Rt△ABN中由勾股定理得，AB²+BN²=AN²，即6²+（8-x）²=x²
解得x=

25

4

，
所以t=

25

4

÷1=

25

4

（秒）．

點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到矩形的性質、直角三角形的性質及圖形反折變換的性質，熟知以上知識是解答此題的關鍵．