Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為C（l，4），交x軸于A、B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過點A的直線與拋物線交于點 E，交y軸于點F，其中點E的橫坐標為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為直線 PQ上的一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G，H、F四點所圍成的四邊形周長最小？若存在，求出這個最小值及點G、H的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點T，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，然后將點B的坐標代入函數解析式即可求得此拋物線的解析式；
（2）作F關于x軸的對稱點F′（0，-1），連接EF′交x軸于H，交對稱軸x=1于G，四邊形DFHG的周長即為最小，則根據題意即可求得這個最小值及點G、H的坐標；
（3）首先設M的坐標為（a，0），求得BD與DM的長，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長，然后由相似三角形對應邊成比例，即可得DM²=BD•MN，則可得到關于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
∵點B的坐標為（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）存在．
拋物線的對稱軸方程為：x=1，
∵點E的橫坐標為2，
∴y=-4+4+3=3，
∴點E（2，3），
∴設直線AE的解析式為：y=kx+b，
∴，
∴，
∴直線AE的解析式為：y=x+1，
∴點F（0，1），
∵D（0，3），
∴D與E關于x=1對稱，
作F關于x軸的對稱點F′（0，-1），
連接EF′交x軸于H，交對稱軸x=1于G，
四邊形DFHG的周長即為最小，
設直線EF′的解析式為：y=mx+n，
∴，
解得：，
∴直線EF′的解析式為：y=2x-1，
∴當y=0時，2x-1=0，得x=，
即H（，0），
當x=1時，y=1，
∴G（1，1）；
∴DF=2，FH=F′H==，DG==，
∴使D、G，H、F四點所圍成的四邊形周長最小值為：DF+FH+GH+DG=2+++=2+2；

（3）存在．
∵BD==3，
設M（c，0），
∵MN∥BD，
∴，
即=，
∴MN=（1+c），DM=，
要使△DNM∽△BMD，
需，即DM²=BD•MN，
可得：9+c²=3×（1+c），
解得：c=或c=3（舍去）．
當x=時，y=-（-1）²+4=．
∴存在，點T的坐標為（，）．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，周長最短問題，相似三角形的判定與性質，以及平行線分線段成比例定理等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．