Question

如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為O，A點坐標為（4，0），B點坐標為（-1，0），以AB的中點P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點C．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線所對應的函數解析式；
（2）設M為（1）中拋物線的頂點，求直線MC對應的函數解析式；
（3）試說明直線MC與⊙P的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出半徑，根據勾股定理求出C的坐標，設經過A、B、C三點拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；
（2）求出M的坐標，設直線MC對應函數表達式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據點的坐標和勾股定理分別求出PC、DC、PD的平方，根據勾股定理的逆定理得出∠PCD=90°，即可求出答案．
解答：解：（1）∵A（4，0），B（-1，0），
∴AB=5，半徑是PC=PB=PA=，
∴OP=-1=，
在△CPO中，由勾股定理得：OC==2，
∴C（0，2），
設經過A、B、C三點拋物線解析式是y=a（x-4）（x+1），
把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），
∴a=-，
∴y=-（x-4）（x+1）=-x²+x+2，
答：經過A、B、C三點拋物線解析式是y=-x²+x+2．

（2）y=-x²+x+2=-+，
M（，），
設直線MC對應函數表達式是y=kx+b，
把C（0，2），M（，）代入得：，
解得：k=，b=2，
∴y=x+2，
y=x+2．
答：直線MC對應函數表達式是y=x+2．

（3）MC與⊙P的位置關系是相切．
證明：設直線MC交x軸于D，
當y=0時，0=x+2，
∴x=-，OD=，
∴D（-，0），
在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+==，
PC²===，
PD²==，
∴CD²+PC²=PD²，
∴∠PCD=90°，
∴PC⊥DC，
∵PC為半徑，
∴MC與⊙P的位置關系是相切．
點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程組，二次函數的最值，切線的判定等知識點的連接和掌握，能綜合運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．