Question

等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，∠MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點E、F.（1）如圖1，當點P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；

（2）如圖2，若點P在BC邊上運動，且保持PE⊥AB，設BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）如圖3，若點P在BC邊上運動，且∠MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長.

【解析】（1）要證三角形EPF是等邊三角形，已知了∠EPF=60°，主要再證得PE=PF即可，可通過證三角形PBE和PFC全等來得出結論，再證明全等過程中，可通過證明FP⊥BC和BE=PC來實現；

（2）根據△ABC的面積-△BEP的面積-△CFP的面積=四邊形AEPF面積求解

（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，設BP=x，則CP=6-x，由相似三角形的對應邊成比例可求出x的值，再根據勾股定理求出PE的值即可

 

Answer 1

（1）△EPF為等邊三角形.     --------------4分

（2）設BP=x，則CP＝6－x.

     由題意可 △BEP的面積為.△CFP的面積為.

△ABC的面積為.

設四邊形AEPF的面積為y.

 ∴ =.

自變量x的取值范圍為3＜x＜6. --------------8分

（3）可證△EBP∽△PCF.

∴ .

設BP=x，

則 . 解得 .

∴ PE的長為4或.    --------------12分