Question

如圖，在直角梯形ABCD中．AB∥CD，AB=12cm，CD=6cm，DA=3cm，∠D=∠A=90°，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發，用t表示移動的時間（單位：秒），并且0≤t≤3．
（1）當t為何值時，△QAP為等腰三角形；
（2）證明不論t取何值，四邊形QAPC的面積是一個定值，并且求出這個定值；
（3）請你探究△PBC能否構成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）設經過t秒△QAP為等腰三角形，則DA-DQ=AP，即3-t=2t，解得：t=1s．

（2）連接AC，則S_{四邊形QAPC}=S_△APC+S_△ACQ=AP•AD+AQ•CD=[3×2t+6×（3-t）]=×18=9，故不論t取何值，四邊形QAPC的面積是一個定值，這個定值為9．

（3）能．①過C作CE⊥AB于E，則AE=CD=6cm，當p運動到E點時，運動的時間為=3s，此時Q正好運動到A點．△PBC中∠CPB=90°．

②當∠PCB=90°時，即P到E點時，過D作DG∥BC，
則四邊形DGBC是平行四邊形，BG=DC=6cm，
故AG=AB-GB=12-6=6cm，DG=BC===3cm，
過A作AF∥CE，則AF=CE，CF=AE=2t，DF=DC-2t=6-2t，
AF=CE===3，
在直角三角形BCE中，BE²=CE²+BC²，
即（12-2t）²=（6-2t）²+3²+（3）²，
解得：t=（符合題意）．
故當t=s，或t=3s時△PBC能否構成直角三角形．

分析：（1）設經過t秒△QAP為等腰三角形，根據題意列出方程即可求出t的值；
（2）連接AC，即可求出四邊形QAPC的面積，與t無關；
（3）分∠PCB與∠CPB為直角時兩種情況分別求出T的值．
點評：此題比較復雜，涉及到梯形及平行四邊形的性質，直角三角形的性質與判定定理，需同學們熟練掌握．