Question

（2008•海口一模）如圖，半徑為2的⊙O與含有30°角的直角三角板ABC的AC邊切于點A，將直角三角板沿CA邊所在的直線向左平移，當平移到AB與⊙O相切時，該直角三角板平移的距離為

2

3

．

Answer 1

分析：根據題意畫出平移后的圖形，如圖所示，設平移后的△A′B′C′與圓O相切于點D，連接OD，OA，AD，過O作OE⊥AD，根據垂徑定理得到E為AD的中點，由平移前AC與圓O相切，切點為A點，根據切線的性質得到OA與AC垂直，可得∠OAA′為直角，由A′D與A′A為圓O的兩條切線，根據切線長定理得到A′D=A′A，再根據∠B′A′C′=60°，根據有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形A′AD為等邊三角形，平移的距離AA′=AD，且∠DAA′=60°，由∠OAA′-∠DAA′求出∠OAE為30°，在直角三角形AOE中，由銳角三角函數定義表示出cos30°=

AE

OA

，把OA及cos30°的值代入，求出AE的長，由AD=2AE可求出AD的長，即為平移的距離．

解答：解：根據題意畫出平移后的圖形，如圖所示：
設平移后的△A′B′C′與圓O相切于點D，連接OD，OA，AD，
過O作OE⊥AD，可得E為AD的中點，
∵平移前圓O與AC相切于A點，
∴OA⊥A′C，即∠OAA′=90°，
∵平移前圓O與AC相切于A點，平移后圓O與A′B′相切于D點，
即A′D與A′A為圓O的兩條切線，
∴A′D=A′A，又∠B′A′C′=60°，
∴△A′AD為等邊三角形，
∴∠DAA′=60°，AD=AA′=A′D，
∴∠OAE=∠OAA′-∠DAA′=30°，
在Rt△AOE中，∠OAE=30°，AO=2，
∴AE=AO•cos30°=

3

，
∴AD=2AE=2

3

，
∴AA′=2

3

，
則該直角三角板平移的距離為2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：此題考查了切線的性質，切線長定理，等邊三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，垂徑定理，以及平移的性質，是一道多知識點的綜合性題，根據題意畫出相應的圖形，并作出適當的輔助線是本題的突破點．