Question

如圖1，將△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)同時(shí)乘以-1得到三個(gè)新的頂點(diǎn)A′，B′，C′，則△ABC與△A′B′C′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)（對(duì)稱(chēng)變換）；如圖2，將⊙O（x²+y²=2）向上平移2個(gè)單位，在向右平移3個(gè)單位得到⊙A （x-3）²+（y-2）²=2（平移變換）；如圖3，把y=x²的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)同時(shí)乘以4得到一個(gè)新圖象，則新圖象的解析式為

1

4

y=x2，即y=4x²（伸縮變換）．試回答問(wèn)題：
（1）y=x²-x+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)圖象的解析式為

 

；
（2）將y=-

1

x

的圖象向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到的圖象的解析式為

 

；
（3）將y=5x+1的圖象所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

5

，得到的圖象的解析式為

 

；
（4）試探究：拋物線(xiàn)y=3x²-6x+1是由拋物線(xiàn)y=x²通過(guò)怎樣的變換而得到的？

Answer 1

分析：（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么所求圖象的開(kāi)口向下，二次項(xiàng)的系數(shù)與原二次項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，那么b＜0，與y軸的交點(diǎn)在y軸的下方，為原來(lái)交點(diǎn)的相反數(shù)；
（2）根據(jù)平移規(guī)律，在橫坐標(biāo)處加3，縱坐標(biāo)處減4即可；
（3）根據(jù)伸縮規(guī)律，讓橫坐標(biāo)乘5即可得到相應(yīng)函數(shù)解析式；
（4）把拋物線(xiàn)y=3x²-6x+1整理為頂點(diǎn)式，并且兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)，看頂點(diǎn)是如何變化的及y是如何變化的即可．

解答：解：（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么所求圖象的開(kāi)口向下，開(kāi)口大小不變，
∴a=-1，
∵變換后對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)，
∴b=-1，
∵變換后與y軸交于負(fù)半軸，
∴c=-1，
∴y=-x²-x-1；

（2）y=-

1

x+3

-4；

（3）∵橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

5

，
∴解析式為：y=25x+1；

（4）y=3x²-6x+1=3（x-1）²-2，
∴

y

3

=（x-1）²-

2

3

，
∴y=x²向右平移1個(gè)單位，再向下平移

2

3

個(gè)單位，得：y=(x-1)2-

2

3

，
那么橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍可得拋物線(xiàn)y=3x²-6x+1．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是理解平移變化中左右平移只改變橫坐標(biāo)的值，左加右減；上下平移只改變常數(shù)，上加下減；伸縮變化中，坐標(biāo)是原來(lái)坐標(biāo)的n倍，那么所求的解析式的坐標(biāo)應(yīng)為原來(lái)坐標(biāo)的

1

n

倍．